Peran Matematika Sebagai Sarana Berpikir Ilmiah : Kelebihan dan Kekurangan

1. Peran Matematika Sebagai Sarana Berpikir Ilmiah

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapan filsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Sifat logis dan terstruktur dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unik di antara mitra-mitra bahasan filsafat lainnya.

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά – mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai “ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting”. Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa “sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.” Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika.

Konsep bentuk logis adalah inti dari logika. Konsep itu menyatakan bahwa kesahihan (validitas) sebuah argumen ditentukan oleh bentuk logisnya, bukan oleh isinya. Dalam hal ini logika menjadi alat untuk menganalisis argumen, yakni hubungan antara kesimpulan dan bukti atau bukti-bukti yang diberikan (premis). Logika silogistik tradisional Aristoteles dan logika simbolik modern adalah contoh-contoh dari logika formal. Dasar penalaran dalam logika ada dua, yakni deduktif dan induktif.

Penalaran deduktif—kadang disebut logika deduktif—adalah penalaran yang membangun atau mengevaluasi argumen deduktif. Argumen dinyatakan deduktif jika kebenaran dari kesimpulan ditarik atau merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya. Argumen deduktif dinyatakan valid atau tidak valid, bukan benar atau salah. Sebuah argumen deduktif dinyatakan valid jika dan hanya jika kesimpulannya merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya. Contoh argumen deduktif:

a. Setiap mamalia punya sebuah jantung

b. Semua kuda adalah mamalia

c. Setiap kuda punya sebuah jantung

Penalaran induktif—kadang disebut logika induktif adalah penalaran yang berangkat dari serangkaian fakta-fakta khusus untuk mencapai kesimpulan umum. Contoh argumen induktif:

a. Kuda Sumba punya sebuah jantung

b. Kuda Australia punya sebuah jantung

c. Kuda Amerika punya sebuah jantung

d. Kuda Inggris punya sebuah jantung

e. Setiap kuda punya sebuah jantung.

Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa ciri utama yang membedakan penalaran induktif dan deduktif.

Deduktif	Induktif
Jika semua premis benar maka kesimpulan pasti benar	Jika premis benar, kesimpulan mungkin benar, tapi tak pasti benar.
Semua informasi atau fakta pada kesimpulan sudah ada, sekurangnya secara implisit, dalam premis.	Kesimpulan memuat informasi yang tak ada, bahkan secara implisit, dalam premis.

Logika masuk ke dalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logika simbolik). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri. Puncak logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 – 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 – 1970).

a. Matematika Sebagai Bahasa

Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang matematika meiliki sifat artifikial yaitu akan memiliki arti setelah sebuah makna deberikan kepadanya. Tanpa makna matematika hanya merupakan lambang saja. Selain itu matematika pun dapat diartikan sebagai bahasa yang berusaha unutk menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan emosional dari bahasa verbal.

Selain sebagai bahasa matematika pun memiliki sifat kuantitatif, yaitu matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita melakukan pengukuran secara kuantitatif. Selain itu matematika pun memungkinkan ilmu mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif. Pada dasarnya matematika diperlukan oleh semua disiplin keilmuan untuk meningkatkan daya prediksi dan control dari ilmu tersebut, sehingga ilmu dapat memberikan jawaban yang lebih bersifat eksak yang memungkinkan pemecahan masalah secara lebih tepat dan cermat. Matematika sarana berfikir deduktif adalah proses pengambilan kesimpulan yang didasarkan kepada premis-premis yang kebenaranya telah ditentukan. Ilmu dapat dibagi menjadi 3 tahapan:

1) Tahapan Sistematika

2) Tahapan Komparatif

3) Tahapan Kuantitatif

Tahapan Sistematika, pada tahap ini ilmu sudah mulai menggolong-golongkan objek empiris ke dalam kategori-kategori tertentu. Penggolongan ini memungkinkan kita untuk menemukan ciri-ciri yang bersifat umum dari anggota-anggota yang menjadi kelompok tertentu. Ciri-ciri yang bersifat umum inilah yang merupakan pengetahuan manusia dalam mengenali dunia fisik.

Tahapan Komparatif, pada tahap ini kita mulai membandingkan antara objek yang satu dengan yang lainya, kategori yang satu ini dengan kategori lainya dan seterusnya. Kita mulai mencari hubungan yang didasarkan kepada perbandingan antara berbagai objek yang akan kita kaji.

Tahapan Kuantitatif, pada tahap ini kita mencari hubunganj sebab-akibat tidak lagi berdasarkan perbandingan, malainkan melaui proses pengukuran eksak dari satu objek yang sedang diamati. Bahasa verbal berfungsi sangat baik pada kedua tahapan diatas (tahap I & II), sedangkan pada tahap III pengetahuan membutuhkan matematika. Lambang-lambang matematika bukan saja jelas namun juga eksak dengan mengandung informasi tentang objek tertentu dalam dimesi pengukuran.

b. Sifat Kuantitatif dari Matematika

Matematika mempunyai kelebihan lain dibandingkan dengan bahasa verbal. Matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Sifat kuantitatif dari matematika ini meningkatkan daya prediktif dan kontrol dari ilmu. Ilmu memberikan jawaban yang lebih bersifat eksak yang memungkinkan pemecahan masalah secara lebih tepat dan cermat. Matematika memungkinkan ilmu mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif. Pada dasarnya matematika diperlukan oleh semua disiplin keilmuan untuk meningkatkan daya prediksi dan kontrol dari ilmu tersebut.

c. Matematika Sarana Berfikir Edukatif

Deduktif adalah proses pengambilan kesimpulan yang didasarkan kepada premis-premis yang kebenarannya telah ditentukan. Contoh, untuk menghitung jumlah sudut dalam segitiga, kita mendasarkan kepada premis bahwa kalau terdapat dua garis sejajar maka sudut yang dibentuk kedua garis tersebut dengan garis ketiga adalah sama. Premis yang kedua adalah bahwa jumlah sudut yang dibentuk oleh sebuah garis lurus adalah 180^o.

Kedua premis ini kemudian diterapkan dalam berfikir deduktif untuk menghitung jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga. Dalam hal ini kita melihat bahwa dalam segitiga (misalnya Segitiga ABC) kalau kita tarik garis P melalui titik A yang sejajar dengan BC maka pada titik A didapatkan 3 sudut yakni α1, α2, α3. Yang ketiga-tiganya membentuk garis lurus, sedangkan berdasarkan premis kedua yang mengatakan bahwa jumlah sudut dalam sebuah garis lurus adalah 180^o. Dengan demikian maka secara deduktif dapat dibuktikan bahwa jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga adalah 180^o. Jadi dengan contoh diatas secara deduktif matematika menemukan pengetahuan yang ditentukan pengetahuan yang baru berdasarkan premis-premis yang tertentu, pengetahuan yang didapatkan secara deduktif ini sungguh sangat berguna dan memberikan kejutan yang sangat menyenangkan

d. Matematika dan Peradaban

Matematika dapat dikatakan sama tuanya dengan peradaban manusia itu sendiri. Sekitar 3500 tahun S.M. bangsa Mesir Kuno telah mempunyai simbol yang melambangkan angka-angka. Para pendeta mereka merupakan ahli matematika yang pertama yang melakukan pengukuran pasang surutnya sungai Nil dan meramalkan timbulnya banjir seperti apa yang sekarang kita lakukan di abad ke-20 di kota Metropolitan Jakarta. Matematika tidak dapat dilepaskan dari perkembangan peradaban manusia. Penduduk kota yang pertama adalah makhluk yang berbicara kata lancelot hogben dan penduduk kota kurun teknologi ini adalah makhluk yang berhitung yang hidup dalam jaringan angka-angka.

e. Beberapa Aliran dalam Filsafat Matematika

1) Logistik Tokoh:

a) Immanuel Kant (1724 – 1804).

Matematika merupakan pengetahuan yang bersifat sintetik apriori (eksistensi matematika tergantung dari pancaindra).

b) Gottlob Frege (1848 – 1925).

Matematika merupakan pengetahuan logistik (cara berpikir logis yang salah atau benarnya dapat ditentukan).

2) Intuisionis Tokoh:

a) Bertand Russell dan Whitehead.

Seluruh matematika dapat direduksi ke dalam proporsi-proporsi logika.

b) Jan Brouwer (1881 – 1966).

Matematika merupakan pengetahuan intuisionis (intuisi murni dari berhitung merupakan titik tolak tentang matematika bilangan.

3) Formalis Tokoh:

a) David Hilbert (1862 – 1943).

Banyak masalah dibidang logika yang tidak dapat hubungan dengan matematika. Matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambing.

f. Kelebihan dan Kekurangan Matematika

Adapun kelebihan matematika antara lain sebagai berikut:

1) Tidak memiliki unsur emotif.

2) Bahasa matematika sangat universal.

Adapun kelemahan dari matematika adalah bahwa matematika tidak mengandung bahasa emosional (tidak mengandung estetika) artinya bahwa matematika penuh dengan simbol yang bersifat artifersial dan berlaku dimana saja.